\documentclass{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\lhead{Doplnit název předmětu}
\rhead{Matouš Raisigl, raisimat@fel.cvut.cz}

Vzorce pro řešitele MPC:
\begin{align}
\min_U&\left(\frac{1}{2}U^THU+c^TFU\right),\\
\text{s.t. }&GU\leq W+Ec
\end{align}

Definice vektoru $U$:
\begin{equation}
U=\begin{pmatrix}
u_k\\
z_k
\end{pmatrix}
\end{equation}

Definice problému, který řešíme:
\begin{align}
J=\frac{1}{2}\left(\left(y_k-r_k\right)^TQ\left(y_k-r_k\right)+\Delta u^T R\Delta u+\left(y_k-z\right)^TH\left(y_k-z\right)\right)
\end{align}

rovnice systému
$$
y=Vx+Su+Dd
$$

Vážení reference systému

\begin{align*}
&(y-r_k)^TQ(y-r_k)\\
&(Vx+Su+Dd-r_k)^TQ(Vx+Su+Dd-r_k)\\
&((Vx)^T+(Su)^T+(Dd)^T-r_k^T)Q(Vx+Su+Dd-r_k)\\
&(x^TV^T+u^TS^T+d^TD^T-r_k^T)Q(Vx+Su+Dd-r_k)
\end{align*}
Pro jednotilvé členy podle první závorky platí
\begin{align*}
&x^TV^TQVx+x^TV^TQSu+x^TV^TQDd-x^TV^TQr_k\\
&u^TS^TQVx+u^TS^TQSu+u^TS^TQDd-u^TS^TQr_k\\
&d^TD^TQVx+d^TD^TQSu+d^TD^TQDd-d^TD^TQr_k\\
&-r_k^TQVx-r_k^TQSu-r_k^TQDd+r_k^TQr_k
\end{align*}
Kvadratičtí členové
$$
u^TS^TQSu
$$
lineární (po sečtění)
$$
2x^TV^TQSu-2r_k^TQSu+2d^TD^TQSu
$$

Vážení vstupu systému

$$
\Delta u^T R\Delta u
$$
platí
$$
\Delta u=D_iu-\tilde{u}
$$

\begin{align*}
&(D_iu-\tilde{u})^TR(D_iu-\tilde{u})\\
&((D_iu)^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})\\
&(u^TD_i^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})
\end{align*}
Pro jednotlivé členy podle první závory platí
\begin{align*}
&u^TD_i^TRD_iu-u^TD_i^TR\tilde{u}\\
&-\tilde{u}^TRD_iu+\tilde{u}^TR\tilde{u}
\end{align*}
Kvadratický člen
$$
u^TD_i^TRD_iu
$$
Lineární člen
$$
-2\tilde{u}RD_iu
$$

Vážení soft omezení

\begin{align*}
(y-z)^T&H(y-z)\\
(Vx+Su+Dd-z)^T&H(Vx+Su+Dd-z)\\
(x^TV^T+u^TS^T+d^TD^T-z^T)&H(Vx+Su+Dd-z)
\end{align*}

\begin{align*}
x^TV^T&HVx+x^TV^THSu+x^TV^THDd-x^TV^THz\\
u^TS^T&HVx+u^TS^THSu+u^TS^THDd-u^TS^THz\\
d^TD^T&HVx+d^TD^THSu+d^TD^THDd-d^TD^THz\\
-z^T&HVx-z^THSu-z^THDd+z^THz
\end{align*}


Kvadratické členy s $u$:
$$
S^THS
$$

Kvadratické členy s $z$:
$$
H
$$

Křížový čelen s $z^T$ a $u$:
$$
-HS
$$

lineární člen s $u$:
$$
2x^TV^THS+2d^TD^THS
$$

lineární člen s $z$:
$$
-2x^TV^TH-2d^TD^TH
$$

Takže pro matici $H$ dostáváme

\begin{equation}
H=
\begin{pmatrix}
S^TQS+D_i^TRD_i+S^TH^T&-S^TH\\
-HS&H
\end{pmatrix}
\end{equation}

pro matici F:
\begin{equation}
F=
\begin{pmatrix}
V^TQS+V^THS&V^TH\\
D^TQS+D^THS&-D^TH\\
-RD_i&0\\
-QS&0
\end{pmatrix}
\end{equation}

Pro $c$ dostáváme:
\begin{equation}
c=
\begin{pmatrix}
x\\
d\\
u_k\\
r_k
\end{pmatrix}
\end{equation}

Pro $G$:
\begin{equation}
G=
\begin{pmatrix}
-E&0\\
E&0\\
0&-E\\
0&E
\end{pmatrix}
\end{equation}

Pro $W$:
\begin{equation}
W=
\begin{pmatrix}
-u_{min}\\
u_{max}\\
-y_{min}\\
y_{max}
\end{pmatrix}
\end{equation}

Pro $E$
\begin{equation}
E=0
\end{equation}
\end{document}